In un triangolo qualsiasi l'angolo esterno è sempre maggiore
dell'angolo interno non adiacente.
Dimostrazione
Vogliamo dimostrare che l'angolo g è maggiore
dell'angolo b.
Sul lato BC del triangolo ABC prendiamo il punto medio M;
congiungiamo A con M e prolunghiamo il segmento AM oltre M
di un segmento MD uguale ad AM. Il punto D cade certamente
nel semipiano al di sopra della retta AC.
Congiungiamo C con D; viene a formarsi il triangolo MCD, che si dimostra
facilmente essere congruente al triangolo MBA.
Infatti i due angoli
in M sono uguali perché opposti al vertice, i lati MC e MB sono
uguali perché M è il punto medio di BC e i lati MA e MD sono uguali
per costruzione. Dunque i due triangoli sono uguali per il
1° criterio di uguaglianza dei triangoli.
Dall'uguaglianza dei due triangoli segue che sono uguali gli angoli
b e b'
e quindi poiché b' è compreso in
g, segue che l'angolo esterno g
è maggiore dell'angolo interno b.
La dimostrazione può ripetersi in modo del tutto analogo per
g e a.
Osservazioni
Il fatto che il punto D debba cadere nel semipiano al di sopra della
retta AC discende dal fatto che, per il
1° postulato, due rette distinte non possono avere più
di un punto in comune; infatti se le rette AM ed AC potessero avere
un altro punto in comune, chiamiamolo E, oltre ad A, il punto D
potrebbe cadere oltre E e quindi nell'altro semipiano.
È quello che accade nella geometria di Riemann, dove il
1° postulato è diverso da quello euclideo e questo
teorema non è vero.
