È dato il triangolo qualsiasi ABC.

Con vertice C e lato CB costruiamo un angolo d uguale a b. La retta r viene ad essere parallela alla base AB, poichè forma angoli alterni interni uguali con la trasversale BC.

Sempre con vertice in C, ma con lato AC costruiamo l'angolo e = a e quindi la retta s che viene ad essere parallela alla retta AB per lo stesso motivo di sopra.

In base al postulato delle parallele nel punto C deve esserci una sola parallela alla retta AB e quindi r ed s devono coincidere. Allora segue immediatamente dal disegno che e + g + d = p (angolo piatto) e poichè e = a e d = b, si conclude che la somma degli angoli interni è effettivamente un angolo piatto C.V.D.

Questo teorema può generalizzarsi per un qualsiasi poligono, e porta anche a un nuovo teorema dell'angolo esterno.

La dimostrazione fa uso in modo essenziale del 5° postulato di Euclide; questo teorema è quindi vero solo in una geometria euclidea. Nelle geometrie non euclidee la somma degli angoli interni del triangolo può essere superiore all'angolo piatto (geometria di Riemann) o inferiore (geometria di Lobacevski).