Il polinomio di MacLaurin
Condizione
di Maclaurin | Polinomio | per x = 0 | Il coefficiente vale ...
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| f(0) = P(0)
| P(x) = a0 + a1.x + a2.x2 + a3.x3 + a4.x4
| P(0) = a0
| a0 = f(0)
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| f'(0) = P'(0)
| P'(x) = a1 + 2a2.x + 3a3.x2 + 4a4.x3
| P'(0) = a1
| a1 = f'(0)
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| f"(0) = P"(0)
| P"(x) = 2.a2 + 6a3.x + 12a4.x2
| P"(0) = 2.a2
| a2 = f"(0)/2
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| f'''(0) = P'''(0)
| P'''(x)= 6.a3 + 24.a4.x
| P'''(0) = 6.a3
| a3 = f'''(0)/6 = f'''(0)/3!
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| fIV(0) = PIV(0)
| PIV(x)= 24a4 = 4!.a4
| PIV(0) = 24.a4
| a4 = fIV(0)/24 = fIV(0)/4!
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Il polinomio di Maclaurin è il polinomio che meglio approssima una funzione f(x) nell'intorno di x = 0.
Per "meglio approssima" Maclaurin intende queste semplici condizioni:
- Il polinomio deve avere lo stesso valore della funzione per x = 0. In simboli matematici: P(0) = f(0).
- Il polinomio deve avere lo stesso valore della derivata per x = 0: P'(0) = f'(0).
- Il polinomio deve avere lo stesso valore della derivata seconda per x = 0: P"(0) = f"'(0).
- ... e così via fino alla derivata n-esima, dove n è il grado del polinomio cercato.
Nella tabella a lato è mostrato come queste condizioni (qui nel caso n = 4) portino facilmente alla determinazione dei coefficienti. Il procedimento si generalizza facilmente per qualsiasi grado n.
In conclusione si ricava la forma generale del polinomio di Maclaurin.
f(0) + f'(0)x + f"(0)x2/2! + f'''(0)x3/3! + ... + f(n)(0)xn/n!
Passando al limite per n che tende a infinito si ha la serie di Maclaurin. Per molte funzioni (p.es. seno, coseno, esponenziale ...) il limite infinito del polinomio di Maclaurin coincide con la funzione. In questo caso si dice che la serie ha raggio di convergenza infinito. Per altre funzioni la coincidenza tra funzione e polinomio vale solo per x inferiore a un certo numero che si dice raggio di convergenza.
Il polinomio di Maclaurin può vedersi come il caso particolare del
polinomio di Taylor quando si prende
x0 = 0.
