La legge dei grandi numeri è fondamentale nella teoria delle variabili casuali. Quella che segue è una sua formulazione in termini semplici ed intuitivi.
dove "converge in probabilità" è un concetto che non definiamo in senso accurato, ma si può intendere in un senso intuitivo (se il numero di prove effettuate è sufficientemente grande, la frequenza relativa dei successi nelle n prove si avvicinerà sempre più alla probabilità di successo nella singola prova, via via che n cresce).
Questo teorema, formulato da Jakob Bernoulli (1654-1705), fornisce una possibile giustificazione della legge empirica del caso, secondo la quale la frequenza relativa di un evento tende a stabilizzarsi all'aumentare del numero delle prove.
La legge dei grandi numeri stabilisce il comportamento asintotico della frequenza relativa e non dice nulla sulla possibilità di successo di una singola prova condizionata a quelle precedenti (che resta sempre p); quindi, questa legge non dice che l'osservazione di - per esempio - 10 teste aumenta la probabilità che venga croce all'undicesima prova. Questo fraintendimento è l'errore più comune nel quale incorrono i giocatori d'azzardo, che scommettono sull'evento che non si verifica da più tempo, convinti che, per questo stesso fatto, esso si debba verificare.
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